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domingo, 22 de junio de 2014
Forma polinómica y representación gráfica
FUNCIÓN CUADRÁTICA
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Ejemplo: f(x) = 5 x6 + 137 x4 – x3 + 8 es f : R R cuyo grado es 6.
Vamos a estudiar ahora la función de grado 2.
Definición: a la función polinómica de grado 2 se
la
denomina función cuadrática
La expresión general de la
función cuadrática es:
f(x) = a.x2 + b.x +
c
Donde a , b y c son números reales siendo a 0
Su dominio es el conjunto R
porque es el conjunto más amplio para el cual la
fórmula tiene sentido.
Su gráfica es una parábola.
Los términos reciben estos nombres :
y = a.x2 + b.x
+ c
siendo: el término cuadrático a.x2
el término lineal b.x
el término independiente c
A esta forma de expresar las función cuadrática se la llama polinómica.
Si le damos diferentes valores a los coeficientes a , b y c obtenemos las fórmulas de distintas funciones cuadráticas.
Por ejemplo:
f(x) = 2 x2 + x – 6
;
h(t) = 80 t – 5 t2 ; g(x) = -x2 + 7 ;
s(t) = 2 t2 + t –3
Representación gráfica de la parábola
Podemos
construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por
el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La
ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje OX
En
el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que
tendremos:
ax²
+ bx +c = 0
Resolviendo
la ecuación podemos obtener:
Dos
puntos de corte: (x1,
0) y (x2,
0) si
b² − 4ac > 0
Un
punto de corte: (x1,
0)si
b² − 4ac = 0
Ningún
punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En
el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que
tendremos:
f(0)
= a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
veamos un video para analizarlo mejor:
veamos un video para analizarlo mejor:
Ejercicio de muestra:
Representar
la función f(x) = x² − 4x + 3
1. Vértice
x=
− (−4) / 2 =
2
y= 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2,
−1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x²
− 4x + 3 = 0
(3,
0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0,
3)
Forma canónica y desplazamientos de la función
Sea la funcion cuadrática F(x)=ax2; siendo b = 0 y c = 0.
Consideremos primero la función f(x) = x2
siendo f : R R+ U { 0 }. Su gráfico es
Los gráficos de
las
funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso es el eje y.
El punto en el que la parábola corta el eje de simetría se llama vértice. En este caso el punto de coordenadas (
0,0).
Forma Canónica
La fórmula de la función cuadrática también puede expresarse en forma canónica, que es la
siguiente:
y = a (x – h)2 + k
donde :
a es el término cuadrático , (h ; k ) son las coordenadas del vértice, y
x = h es la recta de simetría de la
parábola.
Desplazamientos de la función cuadrática
Si analizamos la forma canónica de
la
función, donde figuran como dato importante las
coordenadas del vértice, podremos ver si la parábola está desplazada o no.
Si el vértice está en el punto origen de coordenadas,
el vértice es V
= ( 0, 0) entonces la fórmula será: f(x) = a (x – 0 )2
+ 0
Por ejemplo : f(x) = x2 donde a = 1
y
V =
( 0,0
)
Si la
parábola está desplazada en sentido horizontal,
el vértice será de la forma V =(h, 0)
y la fórmula de la función será : f(x) = a (x
– h )2 + 0
Por ejemplo : f(x) = (x – 3 )2 donde
a = 1 y V = ( 3,
0 )
Por ejemplo : f(x) = (x + 2 )2 donde
a = 1
y V = ( - 2,
0 )
Si la
parábola está desplazada en sentido vertical,
el vértice será de la forma V =
( 0, k) y
la fórmula de la función será: f(x)
= a
( x – 0 )2
+ k
.
Por ejemplo f(x) = x2 + 1 donde a = 1 y V = (
0, 1 )
Por ejemplo f(x) = x2 - 2 donde a = 1 y V = (
0, - 2 )
Si la curva se encuentra desplazada en
los dos sentidos,
entonces el vértice estará en V = (
h, k
) y la fórmula será f (x) = a (
x –
h )2
+ k
Por ejemplo: f (x) = ( x -2 )2 +1 donde a = 1 y
V = ( 2, 1)
Por ejemplo: f (x) = ( x + 1 )2 -2 donde a = 1 y
V = ( - 1,
- 2)
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